|
|
 |
Условие
Назовём тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (c, b, a) новой тройкой не считается.)
Решение
Если b = 1, то a – c = 1, и в качестве другой тройки можно выбрать (1, 25, 49).
Если же b ≠ 1, то из взаимной простоты разность прогрессии d не равна нулю. Пусть d = b – a = c – b > 0. По условию b взаимно просто с aс. Произведение взаимно простых чисел ac и b является квадратом, поэтому и каждое из них – квадрат, то есть b = e², ac = m² = (b – d)(b + d) = b² – d2. При этом m ≠ d (в противном случае b² = m² + d² = 2m², что невозможно).
Искомая тройка (b – m, b, b + m). Действительно, b² – m² = d² > 0, а (b – m)b(b + m) = e²(b² – m²) = (de)². Кроме того,
НОД(b, m²) = НОД(b, ac) = 1, откуда 1 = НОД(b, m) = НОД(b, b – m) = НОД(b, b + m).
