ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



Задача 115370  (#06.4.9.6)

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть точки A , B , C лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке B . Из точки P , лежащей на прямой b , опущены перпендикуляры PA1 и PC1 на прямые AB и BC соответственно (точки A1 и C1 лежат на отрезках AB и BC ). Докажите, что A1C1 AC .
Прислать комментарий     Решение


Задача 115371  (#06.4.9.7)

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Задачи с ограничениями ]
[ Четность и нечетность ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115372  (#06.4.9.8)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шарич В.

Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел:  S1 = 2,  S2 = 2 + 3 = 5,  S3 = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?

Прислать комментарий     Решение

Задача 115357  (#06.4.10.1)

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 115367  (#06.4.10.2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .