ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115367
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?

Решение

Предположим противное. Ясно, что k > 10 , так как в наборе цифр от 1 до 9 нет повторяющихся. Рассмотрим наибольшую степень десятки 10n , не превосходящую k. Последовательность цифр числа 10n целиком войдет в одно из составленных чисел. Но тогда такая же последовательность из единицы и n последующих нулей должна повториться во втором числе. Эта последовательность цифр не могла появиться из объединения двух или более чисел (так как натуральные числа не начинаются с нулей), значит, она содержалась в одном числе, отличном от 10n . Но наименьшее число, отличное от 10n и содержащее такой набор цифр, — это 10n+1 . Мы получили противоречие с тем, что 10n  — максимальная степень десятки, не превосходящая k .

Ответ

Нет

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.2
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .