ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115363
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли три попарно различных ненулевых целых числа, сумма которых равна нулю, а сумма тринадцатых степеней которых является квадратом некоторого натурального числа?

Решение

Для натурального числа t тройка чисел 3t, -t, -2t удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, последнего. А чтобы сумма (3t)13 + (-t)13 + (-2t)13 = t13(313 - 1 - 213) являлась точным квадратом, достаточно положить, например, t = 313 - 1 - 213 .
Итак, условию задачи удовлетворяет, например, тройка чисел 3t, -t, -2t , где t = 313 - 1 - 213 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .