ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 111834  (#07.5.10.1)

Темы:   [ Шахматная раскраска ]
[ Свойства разверток ]
[ Куб ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111835  (#07.5.10.2)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Дан многочлен  P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an.  Положим  m = min {a0, a0 + a1, ..., a0 + a1 + ... + an}.
Докажите, что  P(x) ≥ mxn  при  x ≥ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111845  (#07.5.10.3)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Перпендикуляр, опущенный из точки B1 на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111837  (#07.5.10.4)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Деление с остатком ]
[ Правило произведения ]
[ Кооперативные алгоритмы ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111838  (#07.5.10.5)

Темы:   [ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Метод координат ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан набор из n>2 векторов. Назовем вектор набора длинным, если его длина не меньше длины суммы остальных векторов набора. Докажите, что если каждый вектор набора– длинный, то сумма всех векторов набора равна нулю.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .