ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111845
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Астахов В.

В треугольнике ABC проведена биссектриса BB1. Перпендикуляр, опущенный из точки B1 на BC, пересекает дугу BC описанной окружности треугольника ABC в точке K. Перпендикуляр опущенный из точки B на AK пересекает AC в точке L. Докажите что точки K, L и середина дуги AC (не содержащей точку B) лежат на одной прямой.


Решение

Пусть S и T – основания перпендикуляров, опущенных из B1 и B соответственно на BC и AK (см. рис.).  ∠SBK = ∠LAT = α  как опирающиеся на одну дугу KC; поэтому  ∠B1LB = ∠ALT = 90° – α = ∠BKS = ∠BKB1,  то есть точки B, B1, L, K лежат на одной окружности. Отсюда  ∠BB1K = BLK = β,  и  ∠AKL = ∠TKL = 90° – β = ∠B1BS = ½ ∠ABC = ½ ∠AKC,  Это и означает, что KL проходит через середину дуги AC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 10
задача
Номер 07.5.10.3
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 07.5.9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .