Задача 111834
|
|
 |
Условие
Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.
Решение
Покрасим клетки каждой грани куба в шахматном порядке так, чтобы угловые клетки были чёрными. При этом каждая грань содержит 41 чёрную и 40 белых клеток. Заметим, что все согнутые полоски будут одноцветными, а все остальные – нет. Так как количество чёрных клеток на 6 больше чем количество белых, то число чёрных согнутых полосок на 3 больше чем число белых. Следовательно, эти числа разной чётности, и их сумма нечётна.
