ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 111872  (#08.5.10.4)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Последовательности (an) и (bn) заданы условиями a1=1 , b1=2 , an+1= и bn+1= . Докажите, что a2008<5 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 111873  (#08.5.10.5)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Системы алгебраических неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что  1 + x4 ≤ 2(y – z)² 1 + y4 ≤ 2(z – x)²,  1 + z4 ≤ 2(x – y)².

Прислать комментарий     Решение

Задача 111874  (#08.5.10.6)

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B0 – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A1C1 пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB0 и PQ параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111875  (#08.5.10.7)

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

При каких натуральных  n > 1  существуют такие натуральные b1, ..., bn  (не все из которых равны), что при всех натуральных k число
(b1 + k)(b2 + k)...(bn + k)  является степенью натурального числа? (Показатель степени может зависеть от k, но должен быть больше 1.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 111876  (#08.5.10.8)

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

Автор: Карасев Р.

На плоскости нарисовано несколько прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Известно, что каждые два прямоугольника можно пересечь вертикальной или горизонтальной прямой. Докажите, что можно провести одну горизонтальную и одну вертикальную прямую так, чтобы любой прямоугольник пересекался хотя бы с одной из этих двух прямых.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .