Задача 111873
|
|
 |
Условие
Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что 1 + x4 ≤ 2(y – z)² 1 + y4 ≤ 2(z – x)², 1 + z4 ≤ 2(x – y)².
Решение
Пусть для определенности x ≥ y ≥ z. Поскольку 0 ≤ (x² – 1)² = (x4 + 1) – 2x2, мы имеем 2x² ≤ 1 + x4 ≤ 2(y – z)² , откуда |x| ≤ y – z. Аналогично
|z| ≤ x – y. Поэтому |z| + |x| ≤ (x – y) + (y – z) = x – z. Это возможно только если x ≥ 0, z ≤ 0, при этом неравенство обращается в равенство. Значит, и все промежуточные неравенства также обращаются в равенства, то есть 2x2 = 1 + x4, 2z² = 1 + z4, откуда x² = z² = 1, то есть x = 1, z = –1. Кроме того, |x| = y – z, откуда y = 0. Проверка показывает, что этот ответ подходит.
Ответ
{–1, 0, 1}.
