ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      



Задача 111866  (#08.5.11.6)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A1A2... A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111867  (#08.5.11.7)

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Окружность Ферма-Аполлония ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Композиции гомотетий ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Шмаров В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111868  (#08.5.11.8)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В блицтурнире принимали участие  2n + 3  шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .