ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 111878  (#08.5.11.1)

Темы:   [ Кубические многочлены ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].
Прислать комментарий     Решение


Задача 111862  (#08.5.11.2)

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111863  (#08.5.11.3)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде  x = ap + bp  (с натуральными a, b) при всех   pP   и не представляется в таком виде для любого простого pP.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111864  (#08.5.11.4)

Темы:   [ Шар и его части ]
[ Тетраэдр (прочее) ]
[ Объем помогает решить задачу ]
[ Неравенства с объемами ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

Каждую грань тетраэдра можно поместить в круг радиуса 1 . Докажите, что весь тетраэдр можно поместить в шар радиуса .
Прислать комментарий     Решение


Задача 111865  (#08.5.11.5)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  x² – ax + b = 0  и  x² – bx + a = 0  имеет два целых корня?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .