|
|
 |
Условие
В блицтурнире принимали участие 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.
Решение
Назовём шагом шахматиста количество партий между двумя его соседними играми (включая вторую из них). Тогда все шаги не меньше n + 1.
Рассмотрим любые n + 3 последовательные игры g1, ..., gn+3; в них 2n + 6 участников. Заметим, что только три шахматиста могли участвовать в этих партиях дважды. Действительно, это могло произойти только в парах партий (g1, gn+2), (g1, gn+3) и (g2, gn+3), и в каждой паре может быть только один такой участник (иначе два шахматиста сыграют дважды).
Значит, чтобы набралось 2n + 6 участников, для каждой из пар должен найтись шахматист, участвовавший в обеих; все же остальные шахматисты должны участвовать в наших партиях по разу. Мы получили, что шаги шахматистов из партии g1 равны n + 1 и n + 2. Значит, каждый шаг равен либо n + 1, либо n + 2.
Докажем, что найдётся шахматист, все шаги которого равны n + 2. Тогда сумма 2n + 1 его шагов будет равна (n + 2)(2n + 1) = 2n² + 5n + 2. Поскольку всего игр было (2n + 3)(2n + 2) : 2 = 2n² + 5n + 3, это означает, что он участвовал и в первой, и в последней игре.
