Задача 111872

Темы:    [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательности (a_n) и (b_n) заданы условиями a₁=1 , b₁=2 , a_n+1= и b_n+1= . Докажите, что a2008<5 .

Решение

Заметим, что a_n,b_n>0 . Докажем индукцией по n , что -= . База при n=1 очевидна: -= . Пусть при некотором n это верно. Тогда имеем

- =- == =-.
Переход доказан. Итак, при любом n мы получили =+> , то есть a_n+1<6 и a_n<5 , что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	08.5.10.4