Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97829  (#1)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:
  а)  80 коп.;
  б)  одного рубля.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97834  (#3)

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Апофема пирамиды (тетраэдра) ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97831  (#3)

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).
Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97832  (#4)

Темы:   [ Непрерывные функции (общие свойства) ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97833  (#5)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число d, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких d это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями