Задача 97834

Темы:    [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Апофема пирамиды (тетраэдра) ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Шарыгин И.Ф.

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

Решение 1

Рассмотрим на лучах SA, SB, SC такие точки A₁, B₁, C₁, что  SA₁·SA = SB₁·SB = SC₁·SC = 1.  Указанные прямые параллельны плоскости A₁B₁C₁. Действительно, пусть AK и BL – высоты грани ASB. Треугольники ASB и LSK подобны (см. зад. 56508). Поэтому
SK : SL = SB : SA = SA₁ : SB₁,  следовательно  KL || A₁B₁.

Решение 2

Указанные прямые параллельны плоскости, касающейся в вершине S описанной сферы тетраэдра. Действительно, касательная l в точке S к описанной окружности треугольника ASB лежит в этой плоскости и составляет со стороной SA угол, равный  ∠B = ∠SKL.  Значит,  KL || l.

Замечания

1. В качестве следствия получаем, что плоскости, рассмотренные в двух решениях, параллельны.

2. 9 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1983/1984
Номер	5
вариант
Вариант	весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	3
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1984
выпуск
Номер	6
Задача
Номер	М868
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1983/1984
Номер	5
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	2