ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 97781  (#1)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

а) Доказать, что для любых положительных чисел  x1, x2, ..., xk  (k > 3)  выполняется неравенство:

б) Доказать, что это неравенство ни для какого  k > 3  нельзя усилить, то есть доказать, что для каждого фиксированного k нельзя заменить двойку в правой части на большее число так, чтобы полученное неравенство было справедливо для любого набора из k положительных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97782  (#2)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Анджанс А.

Квадрат разбит на n² равных квадратиков. Про некоторую ломаную известно, что она проходит через центры всех квадратиков (ломаная может пересекать сама себя). Каково минимальное число звеньев у этой ломаной?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97783  (#3)

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Анджанс А.

Прислать комментарий     Решение


Задача 97784  (#4)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97780  (#5)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .