|
|
 |
Условие
Решение 1
Пусть таких членов последовательности конечное число, и k таково, что ak > k и an ≤ n для всех n > k.
Пусть N = am – максимальное среди чисел а1, ..., аk. Тогда каждое из чисел а1, ..., аN не превосходит N. Но таких чисел в последовательности не более N – 1 (нет 1). Противоречие.
Решение 2
Предположим, что таких членов конечное число. Тогда последовательность Bn = (a1 – 1) + ... + (an – n) ограничена сверху (так как только конечное число слагаемых положительно. С другой стороны, Bn = (a1 + ... + an) – (1 + ... + n) ≥ (2 + ... + (n + 1)) – (1 + ... + n) = n. Противоречие.
Замечания
1. В варианте 7-8 кл. предлагалось доказать, что "найдутся сто чисел, которые больше своего номера в этой последовательности".
2. 7-8 кл. – 6 баллов, 9-10 кл. – 3 балла.
