ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97783
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Анджанс А.


Решение 1

  Пусть таких членов последовательности конечное число, и k таково, что  ak > k  и  ann  для всех  n > k.
  Пусть  N = am  – максимальное среди чисел  а1, ..., аk.  Тогда каждое из чисел  а1, ..., аN  не превосходит N. Но таких чисел в последовательности не более  N – 1   (нет 1). Противоречие.


Решение 2

  Предположим, что таких членов конечное число. Тогда последовательность  Bn = (a1 – 1) + ... + (an – n)  ограничена сверху (так как только конечное число слагаемых положительно. С другой стороны,  Bn = (a1 + ... + an) – (1 + ... + n) ≥ (2 + ... + (n + 1)) – (1 + ... + n) = n.  Противоречие.

Замечания

1. В варианте 7-8 кл. предлагалось доказать, что "найдутся сто чисел, которые больше своего номера в этой последовательности".

2. 7-8 кл. – 6 баллов, 9-10 кл. – 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1981/1982
Номер 3
вариант
Вариант 9-10 класс
Задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1981/1982
Номер 3
вариант
Вариант 7-8 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .