Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
Задача
97760
(#1)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.
Задача
97761
(#2)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В таблице N×N, заполненной числами, все строки различны (две строки называются различными, если они отличаются хотя бы в одном
элементе).
Докажите, что из таблицы можно вычеркнуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице опять все строки будут различны.
Задача
97762
(#3)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
a1, a2, ..., a101 – такая перестановка чисел 2, 3, ..., 102, что ak делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.
Задача
97763
(#4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказать, что среди них
найдутся два, угол между которыми меньше 45°.
Задача
97764
(#5)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Каждая его сторона разбита на k равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, так что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая, считая от A, – со второй, считая от D, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось k² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано k четырёхугольников таким образом, что каждые два выбранных четырёхугольника разделены хотя бы одной прямой первой серии и хотя бы одной прямой второй серии.
Доказать, что сумма площадей выбранных четырёхугольников равна 1/k SABCD.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 6]
Фильтр
