ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 85]      



Задача 60869  (#05.031)

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что на окружности с центром в точке  (, )  лежит не более одной точки целочисленной решетки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60870  (#05.032)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:

а) ;     д) ;
б) ;     е) ;
в) ;     ж) .
г) ;  

Прислать комментарий     Решение

Задача 60871  (#05.033)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

При каких натуральных n число  ( + 1)n – ( – 1)n  будет целым?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60872  (#05.034)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите следующие равенства:
а) $ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}}_{\mbox{$10$
радикалов}}^{}\,$ = $ \sqrt[1024]{2+\sqrt{3}}$ + $ \sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$;
б) $ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}_{\mbox{$n$
радикалов}}^{}\,$ = 2 cos$ {\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60873  (#05.035)

Темы:   [ Число e ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Иррациональность числа e. Число e определяется равенством e = $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ \left(\vphantom{1+\dfrac1n}\right.$1 + $ {\dfrac{1}{n}}$$ \left.\vphantom{1+\dfrac1n}\right)^{n}_{}$. Докажите, что
а)     e = $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ \left(\vphantom{
2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right.$2 + $ {\dfrac{1}{2!}}$ + $ {\dfrac{1}{3!}}$ +...+ $ {\dfrac{1}{n!}}$$ \left.\vphantom{
2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right)$;


б)     e = 2 + $ {\dfrac{1}{2!}}$ + $ {\dfrac{1}{3!}}$ +...+ $ {\dfrac{1}{n!}}$ + rn, где 0 < rn $ \leqslant$ $ {\dfrac{1}{n!\,n}}$;


в)    e — иррациональное число.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 85]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .