ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 85]      



Задача 60874  (#05.036)

 [Число e и комбинаторика]
Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Число e ]
[ Раскраски ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если  N > [k!e],  то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.


Прислать комментарий     Решение

Задача 60875  (#05.037)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Определим последовательности чисел {xn} и {dn} условиями

x1 = 1,    xn + 1 = [ $\displaystyle \sqrt{2x_n(x_n+1)}$ ],        dn = x2n + 1 - 2x2n - 1    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что число $ \sqrt{2}$ в двоичной системе счисления представляется в виде $ \sqrt{2}$ = (d1, d2d3...)2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 60876  (#05.038)

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ]
[ Геометрическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что равенство   =   равносильно тому, что десятичное представление дроби 1/m имеет вид  0,(a1a2...an).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60877  (#05.039)

Темы:   [ Теорема Эйлера ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если  (m, 10) = 1,  то существует репьюнит En, делящийся на m. Будет ли их бесконечно много?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60878  (#05.040)

Тема:   [ Десятичные дроби ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Как связаны между собой десятичные представления чисел    и   ?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 85]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .