Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.

   Решение

---

Решите уравнение: $$x+\frac{x}x + \frac{x}{x+\frac{x}x}=1$$

   Решение

---

По краю многоугольного стола ползут два муравья. Все стороны стола длиннее 1 м, а расстояние между муравьями всегда ровно 10 см. Сначала оба муравья находятся на одной из сторон стола.
  a) Пусть стол выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы в каждой точке края побывал каждый из муравьев?
  б) Пусть стол не обязательно выпуклый. Всегда ли муравьи смогут проползти по краю стола так, чтобы на краю не осталось точек, в которых не побывал ни один из муравьев?

   Решение

---

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку  (a, b)  называется число  p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

 

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98248  (#М1502)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прямая отрезает от правильного n-угольника со стороной 1 треугольник APQ так, что  AP + AQ = 1  (A – вершина n-угольника).
Найдите сумму углов, под которыми отрезок PQ виден из всех вершин n-угольника, кроме A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98253  (#М1504)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a  и  ^b/_a + ^c/_b + ^a/_c  ровно одно – целое?

б) Докажите, что если они оба целые, то  a = b = c.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98268  (#М1506)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку  (a, b)  называется число  p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98259  (#М1508)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Троичная система счисления ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Геологи взяли в экспедицию 80 банок консервов, веса которых все известны и различны (имеется список). Через некоторое время надписи на консервах стали нечитаемыми, и только завхоз знает, где что. Он может это всем доказать (то есть обосновать, что в какой банке находится), не вскрывая консервов и пользуясь только сохранившимся списком и двухчашечными весами со стрелкой, показывающей разницу весов.
Докажите, что для этой цели ему
  а) достаточно четырёх взвешиваний и
  б) недостаточно трёх.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями