Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа a, b и c отличны от нуля и выполняются равенства:  a + ^b/_c = b + ^c/_a = c + ^a/_b = 1.  Докажите, что  ab + bc + ca = 0.

   Решение

---

a₁, a₂, ..., a₁₀₁  – такая перестановка чисел  2, 3, ..., 102,  что a_k делится на k при каждом k. Найти все такие перестановки.

   Решение

---

Дано:

Докажите, что  

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98065  (#1)

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Приближения чисел ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дано:

Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108045  (#2)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Для каждой точки C полуокружности с диаметром AB (C отлична от A и B) на сторонах AC и BC треугольника ABC построены вне треугольника квадраты. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих их центры.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98067  (#3)

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Квадрат 8×8 клеток выкрашен в белый цвет. Разрешается выбрать в нём любой прямоугольник из трёх клеток и перекрасить все их в противоположный цвет (белые в чёрный, чёрные – в белый). Удастся ли несколькими такими операциями перекрасить весь квадрат в чёрный цвет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108046  (#4)

Темы:   [ Неравенство треугольника ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD равны соответственно сторонам A'B', B'C', C'D' и D'A' четырёхугольника A'B'C'D', причём известно, что  AB || CD  и  B'C' || D'A'.  Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98069  (#5)

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Преобразования плоскости (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Числовая последовательность {x_n} такова, что для каждого  n > 1  выполняется условие:  x_n+1 = |x_n| – x_n–1.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями