Задача 108046
|
|
 |
Условие
Стороны AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD равны соответственно сторонам A'B', B'C', C'D' и D'A' четырёхугольника A'B'C'D', причём известно, что AB || CD и B'C' || D'A'. Докажите, что оба четырёхугольника – параллелограммы.
Решение
Разность параллельных сторон трапеции больше разности непараллельных сторон (см. рис.). Если первый четырёхугольник – параллелограмм, то и второй – параллелограмм. Пусть оба – трапеции, тогда |AB – CD| > |BC – AD| = |B'C' – A'D'| > |A'B' – C'D'| = |AB – CD|. Противоречие.
Замечания
1. 5 баллов.
2. В другой, но эквивалентной формулировке задача предлагалась в Задачнике "Кванта" (задача М1282).
