Версия для печати
Убрать все задачи

---

На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?

   Решение

---

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

   Решение

---

На доске написано число 7. Петя и Вася по очереди приписывают к текущему числу по одной цифре, начинает Петя. Цифру можно приписать в начало числа (кроме нуля), в его конец или между любыми двумя цифрами. Побеждает тот, после чьего хода число на доске станет точным квадратом. Может ли кто-нибудь гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

   Решение

---

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108607  (#1)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF отрезки AB и CF, CD и BE, EF и AD попарно параллельны.
Докажите, что площади треугольников ACE и BFD равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97855  (#2)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Деление с остатком ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Набор чисел  A₁, A₂, ..., A₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
      B₁ = A₁,  B₂ = A₁ + A₂,  B₃ = A₁ + A₂ + A₃,  ...,  B₁₀₀ = A₁ + A₂ + A₃ + ... + A₁₀₀.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел  B₁, B₂, ..., B₁₀₀  найдутся 11 различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97856  (#3)

Темы:   [ Инварианты ] [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97857  (#4)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Правило произведения ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Перебор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

На фестивале камерной музыки собралось шесть музыкантов. На каждом концерте часть музыкантов выступает, а остальные слушают их из зала. За какое наименьшее число концертов каждый из шести музыкантов сможет послушать (из зала) всех остальных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97858  (#5)

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В квадрате 7×7 клеток размещено 16 плиток размером 1×3 и одна плитка 1×1.
Докажите, что плитка 1×1 либо лежит в центре, либо примыкает к границам квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями