Задача 97856

Темы:    [ Инварианты ] [ Правильные многоугольники ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Фольклор

В правильном десятиугольнике проведены все диагонали. Возле каждой вершины и возле каждой точки пересечения диагоналей поставлено число +1 (рассматриваются только сами диагонали, а не их продолжения). Разрешается одновременно изменить все знаки у чисел, стоящих на одной стороне или на одной диагонали. Можно ли с помощью нескольких таких операций изменить все знаки на противоположные?

Решение

Рассмотрим три диагонали десятиугольника, изображённые на рисунке.

Заметим, что через три отмеченные точки не проходит более ни одной диагонали. На каждом шаге меняется знак у чётного числа единиц, стоящих возле этих трёх точек. Поэтому возле них всегда будет нечётное число "плюс единиц". Следовательно, изменить все знаки невозможно.

Ответ

Нельзя.

Замечания

10 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	3