Задача 65674

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

Решение

  Пусть M, N, R, S – середины отрезков AB, BC, AP и CQ соответственно. Заметим, что  ∠OMB = ∠ONB = 90°,  ∠OMN = 90° – ∠NMB = 90° – ∠A = ∠BPQ.

  Аналогично  ∠ONM = ∠BQP.  Следовательно, треугольники OMN и BPQ подобны. Значит,  OM : BP = ON : BQ.  Имеем
MR = AR – AM = ½ AP – ½ AB = ½ BP.
  Аналогично  NS = ½ BQ.  Таким образом,  OM : MR = ON : NS,  и треугольники OMR и ONS подобны. Поэтому  ∠ORM = ∠OSN,  значит,
∠ORB + ∠OSB = 180°,  и четырёхугольник ORBS – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2016
Номер	79
класс
Класс	9
задача
Номер	4