Версия для печати
Убрать все задачи

---

Один путник шел первые полпути со скоростью 4 км/ч, а вторые полпути со скоростью 6 км/ч. Другой путник шел первую половину времени со скоростью со скоростью 4км/ч, а вторую половину времени со скоростью 6 км/ч. С какой постоянной скоростью должен был бы идти каждый из них, чтобы затратить на свое путешествие то же самое время?

---

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH (на рисунке приведена схема соединения рёбер)?

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97795

Темы:   [ Средние величины ] [ Задачи на движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Пешеход шёл 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость за всё время равна 5 км/час?

Решение

Пусть пешеход идёт полчаса со скоростью 10 км/ч, затем полчаса отдыхает и т. д. Тогда за каждый час он будет проходить ровно 5 км, а всего пройдёт 20 км (поскольку идти он будет четыре получасовых интервала). Средняя скорость при этом равна  20 : 3,5 > 5 км/ч.

Ответ

Не следует.

Прислать комментарий

---

Задача 97788

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Доказать, что уравнение  m!·n! = k!  имеет бесконечно много таких решений, что m, n и k – натуральные числа, большие единицы.

Решение

(n! – 1)!·n! = (n!)!,  то есть среди решений есть бесконечное количество троек вида  (n! – 1, n, n!).

Прислать комментарий

---

Задача 97801

Тема:   [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Бильярд имеет форму прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 30°. Из этого угла по медиане противоположной стороны выпущен шар (материальная точка). Доказать, что после восьми отражений (угол падения равен углу отражения) он попадёт в лузу, находящуюся в вершине угла 60°.

Решение

Рассмотрим параллелограмм AKLM, составленный из шести правильных треугольников (см. рис.).

Диагональ AL проходит через середину отрезка PQ (APLQ – тоже параллелограмм), а значит, и через середину BC. Поэтому AL – развертка пути шара на бильярде ABC. (Жирно обведены треугольники, являющиеся отражениями бильярда.) Как видно из рисунка, количество отражений (пересечений развертки со сторонами треугольников-отражений) равно 8.

Прислать комментарий

---

Задача 97787

Тема:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Несколько фишек двух цветов расположены в ряд (встречаются оба цвета). Известно, что фишки, между которыми 10 или 15 фишек, одинаковы.
Какое наибольшее число фишек может быть?

Решение

  Занумеруем фишки слева направо. В соответствующем графе соединим рёбрами вершины, одноцветные по условию. При 25 фишках образуются две компоненты связности:  10-21-5-16  и  11-22-6-17-1-12-23-7-18-2-13-24-8-19-3-14-25-9-20-4-15;  их можно раскрасить в разные цвета.
  При добавлении 26-й фишки между этими двумя компонентами образуется перемычка  15-26-10.  Следовательно, граф связен, и раскрасить его нельзя. Тем более нельзя раскрасить граф с большим числом фишек.

Ответ

25 фишек.

Прислать комментарий

---

Задача 97791

Темы:   [ Остовы многогранных фигур ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH (на рисунке приведена схема соединения рёбер)?

Решение

На рисунке изображён тетраэдр, из которого вырезан меньший тетраэдр.

Ответ

Существует.

Прислать комментарий

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями