Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 21]
Несколько ребят стоят по кругу. У каждого есть некоторое количество конфет.
Сначала у каждого чётное количество конфет. По команде каждый передает половину
своих конфет стоящему справа. Если после этого у кого-нибудь оказалось нечётное
количество конфет, то ему извне добавляется одна конфета. Это повторяется много
раз. Доказать, что настанет время, когда у всех будет поровну конфет.
Правильный 4k-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее k прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4k-угольника равна a.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что 
(O – центр n-угольника).
б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M
внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна 
где O – центр тетраэдра.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии,
причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10
|
а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх
красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а
второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 21]
Фильтр
