ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97793
Темы:    [ Правильные многоугольники ]
[ Правильный тетраэдр ]
[ Линейные зависимости векторов ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры  MK1, MK2, ..., MKn  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что      (O – центр n-угольника).

б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна     где O – центр тетраэдра.


Решение

  а) Пусть Li – середины сторон n-угольника.     где Pi – проекция точки M на прямую OLi. Как известно (см. задачи 55719,
55373 а),  
    где Qi – точка, симметричная M относительно прямой OLi. Заметим, что точки Qi получаются друг из друга поворотом на /n  вокруг точки O (например, Q2 получается из Q1 композицией двух симметрий относительно прямых OL1 и OL2, то есть поворотом на удвоенный угол между этими прямыми). Таким образом, Qi – вершины правильного многоугольника с центром O (число его сторон равно n, если n нечётно, и n/2, если n чётно; при  n = 4  получается отрезок). Следовательно,     также равна 0, а     что и доказывает утверждение.

  б) Пусть Li – центр грани, противоположной вершине Ai тетраэдра A1A2A3A4, Pi – проекция M на OLi. Как и в а),
 
  Заметим, что     линейно зависит от вектора     (это просто проекция). Следовательно, и     линейно зависит от

.   Но при  M = A1  три слагаемых обращаются в нуль, и  
  Аналогичное равенство выполняется для каждой вершины тетраэдра, значит, оно верно и для любой точки M (поскольку вектор    есть линейная комбинация векторов   ).

Замечания

1. За каждый пункт давалось по 14 баллов, за оба пункта – 20.

2. Пункт б) можно свести к а) – см. Решения задачника "Кванта" (задача М807) – но при этом доказательство станет сложнее.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1982/1983
Номер 4
вариант
Вариант 9-10 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .