Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 67101

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Плотников М., Хилько Д., Кожевников П.А.

Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Пусть $E=AC\cap BD$, $F=AD\cap BC$. Биссектрисы углов $AFB$ и $AEB$ пересекают $CD$ в точках $X, Y$. Докажите, что точки $A, B, X, Y$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 67093

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фролов И.И.

На сторонах $AB$, $BC$, $CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $P$, $Q$, $R$ соответственно так, что $AP=PR$, $CQ=QR$. Точка $H$ – ортоцентр треугольника $PQR$, точка $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $OH \parallel AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67100

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Михайлов И.

Прямая $\ell$, параллельная стороне $BC$ треугольника $ABC$, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках $D$ и $E$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что $AI^2 = AD\cdot AE$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67103

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямые, касающиеся окружностей (прочее)	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ произведения противоположных сторон равны. Точка $B'$ симметрична $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что окружность, проходящая через точки $A$, $B'$, $D$, касается прямой $AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67086

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Москвитин Н.А.

В треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что $BH$ – биссектриса угла $ABO$. Отрезок из точки $O$, параллельный стороне $AB$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Докажите, что $AH=AK$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]