Дан остроугольный треугольник ABC; AA₁, BB₁ – его высоты. Из точки A₁ опустили перпендикуляры на прямые AC и AB, а из точки B₁ опустили перпендикуляры на прямые BC и BA. Докажите, что основания перпендикуляров образуют равнобокую трапецию.

   Решение

Военный полигон имеет форму N-угольника и обнесен по границе забором. Военные изобрели атомную бомбу очередного поколения и намереваются провести испытания этого нового вида оружия. Узнав о планах «зеленых» помешать испытаниям, главнокомандующий приказал установить сверхсовременный пеленгатор, обнаруживающий посторонних в радиусе его действия.

У военных есть вполне естественное желание взорвать как можно более мощную атомную бомбу. При этом заместитель командира части по тылу настаивает, что забор полигона должен остаться целым. Тот же самый рачительный зам. по тылу хочет сэкономить как можно больше денег на электроэнергии, установив пеленгатор минимального радиуса действия, контролирующий весь полигон. Чтобы его не украли «зеленые», пеленгатор нужно установить на территории полигона. Напишите программу, определяющую минимальный радиус действия и точку установки пеленгатора, а также максимальный радиус поражения бомбы и точку ее взрыва.

Входные данные
Входной файл содержит вещественные координаты вершин N-угольника (1 ≤ N ≤ 50), записанные в порядке обхода по (или против) часовой стрелки.

Выходные данные
Запишите в выходной файл искомые координаты и радиусы действия в соответствии с форматом, приведенным в примере.

Пример входного файла
0 0
10 0
10 10
0 10

Пример выходного файла
Установить пеленгатор в точке (5, 5) радиусом действия 7.0710678
Взорвать бомбу в точке (5, 5) радиусом действия 5.0000000

   Решение

Длина взрослого червяка 1 метр. Если червяк взрослый, его можно разрезать на две части в любом отношении длин. При этом получаются два новых червяка, которые сразу начинают расти со скоростью 1 метр в час каждый. Когда длина червяка достигает метра, он становится взрослым и прекращает расти. Можно ли из одного взрослого червяка получить 10 взрослых червяков быстрее чем за час?

   Решение

Тема:    [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

На доске выписаны числа 1, 2, ..., 20. Разрешается стереть любые два числа a и b и заменить их на число  ab + a + b.
Какое число может остаться на доске после 19 таких операций?

Решение

Заметим, что  ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1).  Это, значит, что если все числа увеличить на 1, то произведение новых чисел при указанной операции не меняется. В начале (а значит, и в конце) оно равно 21!.

Ответ

21! – 1.

Источники и прецеденты использования