Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного, в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки, расположенных строго внутри окружности радиуса с центром в начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r. Докажите, что если r < , то на указанной окружности есть точка, которую можно увидеть из начала координат.

   Решение

---

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

   Решение

---

Выпуклая фигура имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то содержит по крайней мере n целочисленных точек.

   Решение

---

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64704  (#8.6)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64739  (#9.6)

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64747  (#10.6)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A', B' и C'. Известно, что ортоцентры треугольников ABC и A'B'C' совпадают. Верно ли, что треугольник ABC – правильный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65007  (#6)

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты такие точки M и N (M лежит между B и N) , что  ∠MAN = 30°.  Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64705  (#8.7)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Каждый из двух правильных многоугольников P и Q разрезали прямой на две части. Одну из частей P и одну из частей Q сложили друг с другом по линии разреза. Может ли получиться правильный многоугольник, не равный ни одному из исходных, и если да, то сколько у него может быть сторон?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями