|
|
 |
Условие
Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.
Решение
Пусть угол C – острый. Пусть O – центр описанной окружности треугольника AMK. Тогда ∠AOK = 2∠AMK = 2∠C, а ∠CAO = ∠AKO = 90° – ∠C. Таким образом, этот угол не зависит от положения точек K, M. Следовательно, все центры лежат на одной прямой. Более того, поскольку все прямые KO при различных положениях точки K параллельны друг другу, то, когда точка K пробегает отрезок AC, точка O пробегает боковую сторону равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 90° – ∠C (этот треугольник и точка B лежат в разных полуплоскостях относительно AC).
Если угол C тупой, то рассуждения аналогичны; получается боковая сторона равнобедренного треугольника с углом при основании ∠C – 90°, лежащего по ту же сторону от AC, что и B.
