Задача 65007

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

На стороне BC равностороннего треугольника ABC взяты такие точки M и N (M лежит между B и N) , что  ∠MAN = 30°.  Описанные окружности треугольников AMC и ANB пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK содержит центр описанной окружности треугольника AMN.

Решение

Так как  ∠BAM + ∠NAC = ∠MAN  и  AB = AC,  точка L, симметричная B относительно прямой AM, совпадает с точкой, симметричной C относительно прямой AN. Тогда  ∠ALM = ∠ABM = ∠ACM,  то есть L лежит на описанной окружности треугольника ACM. Аналогично L лежит на описанной окружности треугольника ABN и, значит, совпадает с K (см.рис.). Поэтому  ∠KAN = ∠NAC = 30° – ∠BAM = 90° – ∠NMA.  Но прямая, соединяющая A с центром описанной окружности треугольника AMN, образует с прямой AN такой же угол.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	6