Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник ABC. На его стороне AB выбирается точка P и через нее проводятся прямые PM и PN, параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM. Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

   Решение

---

Можно ли в таблице 6×6 расставить числа 0, 1 и -1 так, чтобы все суммы по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям были различны?

   Решение

---

Турист шел 3,5 часа, причём за каждый промежуток времени в один час он проходил ровно 5 км.
Следует ли из этого, что его средняя скорость равна 5 км/час?

   Решение

---

Доказать, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., a_n = a_{n - 1} + a_{n - 2},....

   Решение

---

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из нее проведены касательные AP и AQ; M — середина отрезка PQ. Докажите, что  MKO = MLO.

   Решение

---

Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116749  (#1)

Темы:   [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116750  (#2)

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Площадь трапеции ] [ Теорема косинусов ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В выпуклом пятиугольнике ABCDE:  ∠A = ∠C = 90°,  AB = AE,  BC = CD,  AC = 1.  Найдите площадь пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116751  (#3)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Подобие ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116752  (#4)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых  l₁, ..., l_n,  проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  l₁, ..., l_n,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116753  (#5)

Темы:   [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Кривые второго порядка ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что  OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями