Версия для печати
Убрать все задачи

---

Если для вчера завтра был четверг, то какой день будет вчера для послезавтра?

   Решение

---

Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества  A₁, A₂, A₃, ...  так, чтобы при любом натуральном k сумма всех чисел, входящих в подмножество A_k, равнялась  k + 2013?

   Решение

---

Путешественник, сняв в гостинице комнату на неделю, предложил хозяину в уплату цепочку из семи серебряных колец  — по кольцу за день, с тем, однако, условием, что будет рассчитываться ежедневно. Хозяин согласился, оговорив со своей стороны, что можно распилить только одно кольцо. Как путешественнику удалось расплатиться с хозяином гостиницы?

   Решение

---

30 девочек – 13 в красных платьях и 17 в синих платьях – водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек могли ответить утвердительно?

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота  CH. Докажите, что  AC² = AB·AH  и  CH² = AH·BH.

   Решение

---

Про углы треугольника ABC известно, что      и    .   Найдите величину угла C.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116493  (#11.1)

Темы:   [ Синусы и косинусы углов треугольника ] [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

Про углы треугольника ABC известно, что      и    .   Найдите величину угла C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116494  (#11.2)

Темы:   [ Средние величины ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 2+ Классы: 10,11

На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116495  (#11.3)

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Свойства сечений ] [ Свойства разверток ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 10,11

Длина ребра правильного тетраэдра равна a. Через одну из вершин тетраэдра проведено треугольное сечение.
Докажите, что периметр P этого треугольника удовлетворяет неравенству  P > 2a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116496  (#11.4)

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Две окружности касаются внешним образом. A – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, B – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке A. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки B ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116497  (#11.5)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Известно, что A – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.
На какую наибольшую степень тройки делится число A?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями