Условие
Две окружности касаются внешним образом. A – точка касания их общей внешней касательной с одной из окружностей, B – точка той же окружности, диаметрально противоположная точке A. Докажите, что длина касательной, проведённой из точки B ко второй окружности, равна диаметру первой окружности.
Решение
Пусть C – точка касания данной общей касательной и второй окружности, BD – касательная ко второй окружности, проведённая из точки B, H – точка касания окружностей. Тогда угол AHB – прямой. Проведём к данным окружностям через точку H общую внутреннюю касательную, которая пересечет прямую AC в точке M. Отрезки MA, MH и MC касательных, проведённых из точки M к окружностям, равны. Следовательно, треугольник AHC – прямоугольный, значит, точки B, H и C лежат на одной прямой. AH – высота прямоугольного треугольника ABC, проведённая к гипотенузе, поэтому AB² = BH·BC. С другой стороны, BD² = BH·BC. Следовательно, BD = AB.
