ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116495
Темы:    [ Правильный тетраэдр ]
[ Свойства сечений ]
[ Свойства разверток ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Длина ребра правильного тетраэдра равна a. Через одну из вершин тетраэдра проведено треугольное сечение.
Докажите, что периметр P этого треугольника удовлетворяет неравенству  P > 2a.


Решение

Рассмотрим правильный тетраэдр ABCD. Пусть сечение, описанное в условии, проходит через вершину D и пересекает рёбра AB и BC в точках M и N соответственно (рис. слева). Рассмотрим развертку D2AD1CD3B тетраэдра ABCD на плоскость треугольника ABC (рис. справа).

           
P = DM + MN + DN = D2M + MN + ND3 > D2D3 = 2a.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2011
Класс
Класс 11
Задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .