ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116497
Темы:    [ Произведения и факториалы ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что A – наибольшее из чисел, являющихся произведением нескольких натуральных чисел, сумма которых равна 2011.
На какую наибольшую степень тройки делится число A?


Решение

  1) Заметим, что среди множителей, входящих в A, нет единиц. Действительно, в представлении числа 2011 в виде суммы можно два слагаемых 1 и a заменить на одно слагаемое  1 + a,  и произведение при этом увеличится:  1 + a > 1·a.
  2) Докажем, что среди множителей, входящих в A, нет чисел, больших 4. Действительно, если  A ≥ 5,  то  2a – 9 > 0,  то есть  a < 3(a – 3),  и, заменив слагаемое a на два слагаемых  a – 3  и 3, можно сохранить сумму и увеличить произведение.
  3) Если заменить 4 на две двойки, то ни сумма, ни произведение не изменятся. Поэтому можно считать, что среди множителей, входящих в A, четвёрок также нет. Таким образом, в произведении A встречаются только множители 2 и 3.
  4) Двоек может быть не более двух, так как  2 + 2 + 2 = 3 + 3,  а  2³ < 3².
  5) Числа 2011 и  2009 = 2011 – 2  не кратны 3, а число  2007 = 2011 – 2 – 2  кратно 3. Следовательно, в произведении A – ровно две двойки. Таким образом,  A = 2²·3669.


Ответ

На 3669.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2011
Класс
Класс 11
Задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .