|
|
 |
Условие
На доске записали 20 первых чисел натурального ряда. Когда одно из чисел стёрли, то оказалось, что среди оставшихся чисел одно является средним арифметическим всех остальных. Найдите все числа, которые могли быть стёрты.
Решение
Первый способ. Сумма первых двадцати чисел натурального ряда равна (1 + 20)·10 = 210. Следовательно, если одно из них стёрто, то сумма S оставшихся чисел удовлетворяет неравенству 190 ≤ S ≤ 209. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно S/19. По условию, это – натуральное число, значит, S кратно 19. На отрезке [190, 209] есть ровно два таких числа: 190 и 209. Если S = 190, то стерли число 20, а если S = 209, то стёрли единицу.
Второй способ. Заметим, что могли стереть как наибольшее из записанных чисел, так и наименьшее. Действительно, в первом случае среднее арифметическое оставшихся чисел равно (210 – 20) : 19 = 10, а во втором – (210 – 1) : 19 = 11. При стирании любого другого числа среднее арифметическое оставшихся будет больше 10, но меньше 11, то есть не целым. Таким образом, никакое другое число не могло оказаться стёртым.
Ответ
20 или 1.
