Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX² = BX² + CX².
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.

   Решение

---

Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что  2^a + 1  делится на b,  2^b + 1  делится на c, а  2^c + 1  делится на a?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110039  (#00.4.9.1)

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Миша решил уравнение  x² + ax + b = 0  и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110040  (#00.4.9.2)

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Существуют ли различные взаимно простые в совокупности натуральные числа a, b и c, большие 1 и такие, что  2^a + 1  делится на b,  2^b + 1  делится на c, а  2^c + 1  делится на a?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110041  (#00.4.9.3)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Покрытия ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

На прямой имеется 2n+1 отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми остальными.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108245  (#00.4.9.4)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S₁ проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S₂ в точках B и C, а через точку D окружности S₂ – прямые DM и DN, пересекающие S₁ в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110043  (#00.4.9.5)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В таблице 99×101 расставлены кубы натуральных чисел, как показано на рисунке.

Докажите, что сумма всех чисел в таблице делится на 200.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями