Версия для печати
Убрать все задачи

---

Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?

   Решение

---

Точки А₁ и А₃ расположены по одну сторону от плоскости α, а точки А₂ и А₄ – по другую сторону. Пусть В₁, В₂, В₃ и В₄ – точки пересечения отрезков А₁А₂, А₂А₃, А₃А₄ и А₄А₁ с плоскостью α соответственно. Найдите  

   Решение

---

В выпуклом n-угольнике провели несколько диагоналей так, что ни в какой точке внутри многоугольника не пересеклись три или более из них. В результате многоугольник разбился на треугольники. Каково наибольшее возможное число треугольников?

   Решение

---

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 107784

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Тригонометрический круг ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Известно число sin α. Какое наибольшее число значений может принимать  а) sin ^α/₂,   б) sin ^α/₃?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108070

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ ГМТ и вписанный угол ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107786

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107782

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Инварианты ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107788

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теорема Виета ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Кубические многочлены ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Целые числа a, b и c таковы, что числа  ^a/_b + ^b/_c + ^c/_a  и  ^a/_с + ^с/_b + ^b/_a  тоже целые. Докажите, что  |a| = |b| = |c|.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями