Задача 66193

Темы:    [ Многоугольники (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

В выпуклом n-угольнике провели несколько диагоналей так, что ни в какой точке внутри многоугольника не пересеклись три или более из них. В результате многоугольник разбился на треугольники. Каково наибольшее возможное число треугольников?

Решение

  Пусть  n = 2k  или  2k + 1.
  Пример. Будем диагоналями отсекать от n-угольника четырёхугольники, пока это возможно. Всего получится  k – 1  четырёхугольник (и при нечётном n ещё один треугольник). Проведя в каждом четырёхугольнике диагонали, получим  4k – 4 = 2n – 4  треугольника при чётном n и
4k – 3 = 2n – 5  треугольников при нечётном n.

  Оценка. Никакая диагональ не может пересечь две другие (рассмотрим отрезок диагонали между соседними точками пересечения; с той его стороны, где сумма углов не меньше 180°, к нему примыкал бы не треугольник). Значит, пересекающиеся диагонали делятся на пары пересекающих друг друга. Убрав такие пары, получим разбиение на четырёхугольники и треугольники (соответственно l и m штук). Вычисляя двумя способами сумму углов, получим  2l + m = n – 2.  Отсюда число исходных треугольников  4l + m = 2(2l + m) – m = 2n – 4 – m ≤ 2n – 4.
  При нечётном n, однако, и m нечётно, поэтому  m ≥ 1  и  2n – 4 – m ≤ 2n – 5.

Ответ

2n – 4  при чётном n,  2n – 5  при нечётном n.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	28
Дата	2006/2007
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4