Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Из 19 шаров 2 радиоактивны. Про любую кучку шаров за одну проверку можно узнать, имеется ли в ней хотя бы один радиоактивный шар (но нельзя узнать, сколько их). Доказать, что за 8 проверок всегда можно выделить оба радиоактивных шара.

б) Из 11 шаров два радиоактивны. Доказать, что менее чем за 7 проверок нельзя гарантировать нахождение обоих радиоактивных шаров,
а за 7 проверок их всегда можно обнаружить.

   Решение

---

На столе лежат 2023 игральных кубика. За 1 рубль можно выбрать любой кубик и переставить его на любую из четырёх граней, которые сейчас для него боковые. За какое наименьшее количество рублей гарантированно удастся поставить все кубики так, чтобы на верхних гранях у них было поровну точек? (Количества точек на гранях каждого игрального кубика равны числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, суммарное число точек на противоположных гранях всегда равно 7.)

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116819  (#1)

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116823  (#2)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Сферы (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
   а) равные многоугольники;
   б) правильные многоугольники?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116824  (#3)

Темы:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовало хотя бы четверо школьников этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₁₇ всех экскурсий.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116825  (#4)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n.
  а) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?
  б) А если при этом дополнительно требуется, чтобы  C(a + b) > 1000?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116826  (#5)

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Из 239 неотличимых на вид монет две – одинаковые фальшивые, а остальные – одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее – фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями