ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116826
Тема:    [ Взвешивания ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Кноп К.А.

Из 239 неотличимых на вид монет две – одинаковые фальшивые, а остальные – одинаковые настоящие, отличающиеся от фальшивых по весу. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь выяснить, какая монета тяжелее – фальшивая или настоящая? Сами фальшивые монеты находить не нужно.


Решение

  Разобьём все монеты на группы А, Б, В и Г из соответственно 60, 60, 60 и 59 монет. Сначала сравним А с Б, затем Б с В. Фальшивые монеты могут быть не более, чем в двух кучках. Поэтому веса по крайней мере двух из взвешенных кучек равны. Следовательно, возможны только два результата.
  1) Веса всех взвешенных кучек равны. Это значит, что все 90 взвешенных монет – настоящие. Отложив из A любую монету и сравнив остальное с Г, узнаем требуемое.
  2) Веса двух кучек равны, а вес третьей – другой, например,  A = Б > В.  Тогда либо в А и в Б есть по фальшивой монете и они тяжелее настоящих, либо в В есть фальшивые монеты (одна или две) и они легче настоящих. Разделив А на две равные кучки и сравнив их между собой, определим, есть ли там фальшивая монета. Тем самым выяснится, какой из двух случаев имеет место.

Замечания

1. Разумеется, возможны и другие алгоритмы взвешиваний.

2. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .