Задача 116823

Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Сферы (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
   а) равные многоугольники;
   б) правильные многоугольники?

Решение

  а) Рассмотрим правильную треугольную призму с квадратными боковыми гранями. Отметим на каждом ребре точки, делящие его на три равные части. Очевидно, эти точки равноудалены от центра призмы, то есть лежат на сфере соответствующего радиуса.

  б) Пусть A₁...A_n – одна из граней многогранника. Все точки B_i, C_i, делящие его стороны A_i–1A_i на три равные части, лежат на одной окружности (пересечении сферы с плоскостью грани) с центром O. Пусть  A_i–1A_i = 3a,  A_iA_i+1 = 3b.  По теореме о секущей  A_iB_i·A_iC_i = A_iB_i+1·A_iC_i+1,  то есть
2a² = 2b²  ⇔  a = b.  Значит, все стороны грани равны. Поэтому равны и все отрезки B_iC_i и равнобедренные треугольники B_iOC_i. Следовательно, равны все треугольники вида B_iOA_i, углы B_iA_iO и углы  ∠A_i–1A_iA_i+1 = 2∠B_iA_iO.

Ответ

а) Не обязательно;  б) обязательно.

Замечания

баллы: 2 + 3

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2