Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]

Задача 76483

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Средние величины	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.

Решение

Обозначим через x среднее арифметическое данных чисел. Тогда они равны x – ³/₂, x – ¹/₂, x + ¹/₂, x + ³/₂, а их произведение, увеличенное на 1, равно то есть является квадратом рационального числа. Поскольку это число целое, оно является квадратом целого числа.

Прислать комментарий

Задача 76485

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n, принимающий при x = 0 и x = 1 нечётные значения, не имеет целых корней.

Подсказка

Докажите, что значения многочлена нечётны при всех целых x.

Решение

Пусть P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n. Если x – чётное число, то P(x) ≡ a_n (mod 2). Если x – нечётное число, то
P(x) ≡ a₀ + a₁ + ... + a_n (mod 2). В обоих случаях число P(x) нечётно, поэтому оно не равно нулю.

Прислать комментарий

Задача 76487

Тема:

[

Уравнения с модулями

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Решить уравнение:

| x + 1| - | x| + 3| x - 1| - 2| x - 2| = x + 2.

Решение

Ответ: x = - 2 или x $\ge$ 2. Если x $\ge$ 2, получаем тождество. Если 1 $\le$ x < 2, получаем уравнение 4x = 8, которое не имеет корней на данном интервале. Если 0 $\le$ x < 1, получаем уравнение -2x = 2, которое не имеет корней на данном интервале. Если -1 $\le$ x < 0, получаем 0 = 2, чего не может быть. Если x < - 1, получаем корень x = - 2.

Прислать комментарий

Задача 76493

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Доказать, что квадрат любого простого числа p > 3 при делении на 12 даёт в остатке 1.

Решение

p = 6n ± 1 (см. задачу 88242). Значит, p² = 36n² ± 12n + 1.

Прислать комментарий

Задача 76498

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².

Решение

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x: x² – (y + 1)x + y² – y = 0. Дискриминант этого уравнения равен
– 3y² + 6y + 1. Он отрицателен при y ≥ 3 и при y ≤ –1. Поэтому для y получаем три возможных значения: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений получаем уравнение, которое легко решается.

Ответ

(0, 0), {0, 1}, {1, 2}, (2, 2).

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]