ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76483
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Средние величины ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.


Решение 1

Обозначим через x среднее арифметическое данных чисел. Тогда они равны  x3/2x1/2x + 1/2x + 3/2,  а их произведение, увеличенное на 1, равно      то есть является квадратом рационального числа. Поскольку это число целое, оно является квадратом целого числа.


Решение 2

Заметим, что  (a² – 1)(b² – 1) = (ab – 1)² – (a – b)²  (см., например, замечание к задаче 61078). Поэтому
(n – 1)n(n + 1)(n + 2) = (n² – 1)(n² + 2n) = (n² – 1)((n + 1)² – 1) = (n(n + 1) – 1)² – 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 7
Год 1941
вариант
Класс 7,8
Тур 1
задача
Номер 5
web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .