ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Прокопенко Д.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



Задача 66802

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение


Задача 64879

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Из некоторой точки D в плоскости треугольника ABC провели прямые, перпендикулярные к отрезкам DA, DB, DC, которые пересекают прямые BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что середины отрезков AA1, BB1, CC1 лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115368

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен 60o . Пусть BB1 и CC1  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B1C1 , лежит на стороне BC .
Прислать комментарий     Решение


Задача 65235

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три окружности пересекаются в одной точке ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Точка Микеля ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC1 и BB1 пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A0 – середина стороны BC, а AA1 – высота. Прямые A0C1 и A0B1 пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA1, KLA0, A1B1C1 и окружность с диаметром AA1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116071

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9

Cерединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N. Пусть точка C движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .