ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115368
Темы:    [ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60o . Пусть BB1 и CC1  — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B1C1 , лежит на стороне BC .

Решение

Пусть I  — точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Тогда B1IC1 = BIC = 180o - IBC - ICB = 1800 - ( ABC + ACB) / 2 = 180o - 60o = 120o = 180o - B1AC1 . Значит, четырёхугольник AB1IC1 вписан в окружность. Отсюда AC1B1 = AIB1 = ABI + BAI = ( A + B) / 2 (поскольку AIB1  — внешний в Δ ABI ), и аналогично AB1C1 = ( A + C) / 2 . Пусть описанная окружность треугольника BC1I пересекает прямую BC в точке K (легко понять, что эта точка не может попасть на продолжение стороны BC ). Тогда IKC = 180o - BKI = BC1I = 180o - AC1I = AB1I = 180o - IB1C , то есть четырёхугольник IB1CK также вписан. Наконец, поскольку четырёхугольники AB1IC1 , BC1IK и CKIB1 вписаны, мы имеем KC1B1 = KC1I + IC1B1 = KBI + IAB1 = ( B + A) / 2 = AC1B1 , и аналогично KB1C1 = KB1I + IB1C1 = ( C + A) / 2 = AB1C1 . Значит, треугольники AB1C1 и KB1C1 равны по стороне B1C1 и двум прилежащим к ней углам. Тогда они симметричны относительно B1C1 , а тогда и точки A и K также симметричны. Поскольку точка K лежит на BC , решение закончено.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .